Tiga terompet di bar

[Hendrata Dharmawan] Tiga pemain terompet berada di sebuah bar. Mereka datang di waktu yang mungkin berbeda-beda. Setiap peniup terompet main selama satu menit, kemudian istirahat selama beberapa menit. Satu kali main dan satu kali istirahat disebut satu periode. Misalkan periode pemain terompet pertama, kedua, dan ketiga berturut-turut adalah (dalam satuan menit). Jika diketahui bahwa semuanya adalah bilangan irasional, buktikan bahwa terdapat suatu saat di mana ketiga terompet berbunyi bersamaan.

Solusi
Kita akan menggunakan lemma berikut (lihat ini):

Jika adalah bilangan irasional, maka barisan rapat (dense) di interval $(0,1)$.

Kita perhatikan dua orang dulu. Misalkan orang pertama memiliki periode 1 detok, yang setara dengan menit. Misalkan juga , yang adalah bilangan irasional. Jadi , atau detok. Jadi periode orang kedua adalah bilangan irasional, untuk kenyamanan sebutlah ini detok. Anggap pada suatu saat orang kedua mulai main untuk ke- kalinya. Orang pertama sudah mulai main sejak detok yang lalu. Jika kurang dari satu menit, maka orang kedua mulai main ketika orang pertama masih bermain. Tetapi menurut lemma di atas, terdapat yang kurang dari satu menit. Maka untuk dua orang, hasil itu terbukti.

Sekarang kita perhatikan tiga orang. Anggaplah ada orang keempat yang bermain setiap kali dan hanya pada saat orang pertama dan kedua bermain bersama. Jadi, kita tinggal perhatikan orang ketiga dan keempat. Ini bisa dibuktikan dengan cara yang sama seperti di atas. Maka kita selesai.

Secara induktif, kita dapat memperumum hasil ini untuk berapa pun banyaknya pemain terompet.