Banyak solusi bulat « Art of Mathematics

14 September 2008

Banyak solusi bulat

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:1997, bilangan bulat, kuadrat, Teori Bilangan, tournament of towns — Johan @ 9.43

[Tournament of Towns Musim Gugur 1997 Junior O Level] Buktikan bahwa persamaan $x^2+y^2-z^2=1997$ memiliki tak terhingga banyaknya solusi bilangan bulat $x,y,z$ .

Solusi
Kita bisa ambil $z=y+1$ . Maka $x^2+y^2-(y+1)^2=1997$ , atau $x^2=1997+2y+1=1998+2y$ . Karena $y\in\mathbb{Z}$ , maka $1998+2y$ bisa merupakan bilangan genap apapun. Jelas bahwa ada tak terhingga banyaknya bilangan genap sehingga $1998+2y$ adalah bilangan kuadrat, yaitu $x^2$ . Maka terbukti.