Segiempat ortodiagonal « Art of Mathematics

6 September 2008

Segiempat ortodiagonal

Diarsipkan di bawah: Geometri — Tag:konveks, layang-layang, lingkaran dalam, ortodiagonal, segiemapt, tegak lurus — Johan @ 16.56

[Olimpiade Geometri Sharygin Rusia 2008, Kelas 8] Ada dua sudut berseberangan yang besarnya sama dalam segiempat konveks yang diagonalnya tegak lurus. Buktikan bahwa segiempat ini memiliki lingkaran dalam.

Solusi
Misalkan segiempat itu $ABCD$ dengan $\angle ABC=\angle CDA$ . Tetapkan titik $A,B,C$ dulu. Jelas bahwa titik $D$ yang membuat $\angle ABC=\angle CDA$ hanya ada satu, dan titik di mana $ABCD$ adalah layang-layang dengan sumbu simetri $AC$ akan memenuhi itu. Jadi $ABCD$ adalah layang-layang. Karena $AB+CD=AC+BD$ , cukup umum diketahui bahwa segiempat seperti ini memiliki lingkaran dalam.