Ketaksamaan « Art of Mathematics

22 Agustus 2008

Ketaksamaan

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:AM-GM, crux, eksponen, ketaksamaan — Johan @ 18.46

[From Erdos to Kiev] Jika $a,b,c$ adalah bilangan real yang lebih besar dari 1 dan $r>0$ , buktikan bahwa $(^a\log bc)^r+(^b\log ca)^r+(^c\log ab)^r\ge3\cdot2^r$ .

Solusi
Perhatikan bahwa $^a\log bc=\frac{\log b}{\log a}+{\log c}{\log a}\ge2\sqrt{\log b\log c}{\log^2a}$ . Jadi $(^a\log bc)^r\ge\frac{2^r(\log b\log c)^{r/2}}{\log^ra}$ . Dengan cara yang sama, $(^b\log ca)^r\ge\frac{2^r(\log c\log a)^{r/2}}{\log^rb}, (^c\log ab)^r\ge\frac{2^r(\log a\log b)^{r/2}}{\log^rc}$ . Jadi $S\ge\frac{2^r(\log b\log c)^{r/2}}{\log^ra}+\frac{2^r(\log c\log a)^{r/2}}{\log^rb}+\frac{2^r(\log a\log b)^{r/2}}{\log^rc}\ge3\cdot2^r$ .