Art of Mathematics

22 Agustus 2008

Bilangan-bilangan dan pecahan yang berbeda

Diarsipkan di bawah: Kombinatorik — Tag:, , , — Johan @ 18.48

[Cina 2006] Anggaplah a_1,a_2,\ldots,a_{2006} (boleh ada bilangan yang sama) memenuhi sifat berikut: \frac{a_1}{a_2},\frac{a_2}{a_3},\cdots,\frac{a_{2005}}{a_{2006}} semuanya berbeda. Paling sedikit, berapa banyaknya bilangan berbeda pada \{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{2006}\}?

Solusi
45 bilangan berbeda hanya akan memberikan maksimum 45\cdot44+1 pecahan yang berbeda. Jadi minimal ada 46 bilangan berbeda. Misalkan p_1,p_2,\ldots,p_{46} adalah bilangan prima yang berbeda. Kita bisa susun nilai \{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{2006}\} sebagai berikut:

p_1,p_1,p_2,p_3,p_2,p_3,p_1,p_4,p_3,p_4,p_2,p_4,p_1,\cdots,p_1,p_k,p_{k-1},p_k,p_{k-2},p_k,\cdots,p_k,p_2,p_k,p_1,\cdots,p_1,p_{45},p_{44},p_{45},p_{43},p_{45},\cdots,p_{45},p_2,p_{45},p_1,p_{46},p_{45},p_{46},p_{44},p_{46}\cdots,p_{46},p_{22},p_{46}.

Dapat dilihat bahwa ini menyebabkan semua pecahan \frac{a_1}{a_2},\frac{a_2}{a_3},\cdots,\frac{a_{2005}}{a_{2006}} berbeda. Jadi minimumnya adalah 46.

1 Komentar »

  1. pengertian fungsi kuadrat?

    Komentar oleh tanpa nama — 27 Agustus 2008 @ 13.56

    Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.