Art of Mathematics

21 Agustus 2008

Barisan bilangan

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:, , , , , , , , — Johan @ 19.03

[IMO Shortlist 2001] Misalkan A=(a_1,a_2,\ldots,a_{2001}) adalah suatu barisan bilangan asli. Misalkan m adalah banyaknya barisan tiga bilangan asli (a_i,a_j,a_k), di mana a_i,a_j,a_k juga adalah anggota A, dengan 1\le i<j<k\le2001 dan a_j=a_i+1,a_k=a_j+1. Tentukan nilai terbesar yang mungkin dari m.

Solusi
Jika kita menyusun suku-suku A menjadi barisan naik, itu tidak akan mengurangi nilai m. Jadi anggaplah A tidak menurun. Asumsikan a_1=1 dan b_i adalah banyaknya anggota A yang nilainya i (1\le i\le n=a_{2001}). Maka b_1+\cdots+b_n=2001 dan

m=b_1b_2b_3+b_2b_3b_4+\cdots+b_{n-2}b_{n-1}b_n.

Jika n\ge4, kita bisa mengganti barisan A sedemikian rupa sehingga b_1,b_2,\cdots,b_n menjadi b_2,b_3,(b_1+b_4),\cdots,b_n. Ini tidak akan mengurangi nilai m, tetapi nilai n berkurang 1. Maka, kita boleh melakukan ini terus menerus sampai n=3. Jadi m=b_1b_2b_3 adalah maksimumnya. Dengan AM-GM, karena b_1+b_2+b_3=2001, kita dapat nilai maksimum m=667^3.

1 Komentar »

  1. Saya mau tanya, kalo contoh barisan yang hanya mempunyai 1 puncak(peak) apa y?
    Klo 2,3 puncak dan berhingga banyak contohnya juga apa y ?

    Komentar oleh Yonan — 23 Mei 2009 @ 21.13

    Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.