Art of Mathematics

17 Agustus 2008

Dua soal dari IMO 1975

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:, , , , , , , , , , — Johan @ 13.17

Saya akan membahas dua soal pertama hari pertama IMO 1975 di Bulgaria:

1. Misalkan x_1\ge x_2\ge\ldots\ge x_n dan y_1\ge y_2\ge\ldots\ge y_n. Buktikan bahwa

\displaystyle\sum^n_{i=1}(x_i-y_i)^2\le\sum^n_{i=1}(x_i-z_i)^2,

di mana z_1,z_2,\ldots,z_n adalah permutasi dari y_1,y_2,\ldots,y_n.

2. Misalkan a_1,a_2,a_3,\ldots adalah barisan tak terbatas bilangan asli yang monoton naik. Buktikan bahwa ada tak terhingga banyaknya m sehingga bisa ditulis a_m=x\cdot a_p+y\cdot a_q dengan x,y bilangan asli dan p\ne q.

Soal yang pertama sangat sederhana. Jika kita uraikan, kita dapat bahwa ketaksamaan itu ekuivalen dengan \sum x_i^2-2\sum x_iy_i+\sum y_i^2\le\sum x_i^2-2\sum x_iz_i+\sum z_i^2 atau \sum x_iz_i\le\sum x_iy_i. Ketaksamaan terakhir ini jelas benar dengan rearrangement.

Sekarang kita lihat soal kedua. Untuk setiap 0\le r\le a_p, nyatakan B_r sebagai subbarisan dari a_1,a_2,\ldots yang kongruen r modulo a_p. Karena ada tak terhingga banyaknya bilangan barisan a_1,a_2,\ldots, pasti ada satu bilangan r sehingga barisan B_r memiliki tak terhingga banyaknya anggota. Misalkan a_p,a_q adalah dua suku terkecil dari B_r. Jadi kita bisa ambil sembarang a_m dari B_r sehingga a_m=xa_p+ya_q, di mana x=\frac{a_m-a_q}{a_q},y=1. Jadi terbukti.

& Komentar »

  1. kek.kek…..kek.

    gahg mudeng aqu

    Komentar oleh muis_f_n — 30 November 2008 @ 0.07

    Balas

  2. mohon semua pembahasan yang ko,binasi

    Komentar oleh adidarma — 25 Januari 2009 @ 13.24

    Balas

  3. mohon bahasan soal soal permutasi dan kombinasi

    Komentar oleh adidarma — 25 Januari 2009 @ 13.24

    Balas

  4. tolong soal n jawabannya materi kongruensi ttg modulo,thanks…

    Komentar oleh wina — 6 April 2009 @ 14.31

    Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.