Art of Mathematics

9 Juli 2008

Jumlah Bilangan-Bilangan Kubik

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:, , , , , , , , , , , , , , — Johan @ 8.06

Dalam International Mathematics Olympiad, ada dua tahap seleksi soal. Pertama-tama negara-negara partisipan mengirimkan soal-soalnya, yang disebut Longlist Problems. Kemudian panitia menyeleksinya, dan sisanya disebut Shortlist Problems. Terakhir panitia memilih enam soal yang paling tepat. Berikut ini adalah soal IMO Shortlist pada tahun 2002. Soal ini dikirim oleh Uzbekistan dan menjadi soal pertama dari teori bilangan pada shortlist itu.

Tentukan nilai terkecil bilangan asli t sehingga terdapat bilangan-bilangan x_1,x_2,\ldots,x_t sehingga

x^3_1+x^3_2+\,\ldots\,+x^3_t=2002^{2002}.

Kita bisa memanfaatkan kongruensi modular di sini. Untuk bilangan kubik, biasanya modulo 7 atau 9 cukup efektif, karena hanya ada tiga kemungkinan. (Untuk bilangan kuadrat biasanya modulo 3 dan 4 cukup efektif). Dalam kasus ini, kita bisa pakai modulo 9. Perhatikan bahwa x^3_1,x^3_2,\ldots,x_t^3 semuanya kongruen dengan -1,0,1\pmod9, sedangkan 2002^{2002}\equiv4\pmod9. Jadi, minimum kita perlu empat bilangan.

Sekarang kita perlu buktikan juga bahwa ada empat bilangan seperti itu. Perhatikan bahwa 2002=10^3+10^3+1^3+1^3. Jadi kita bisa ambil 2002^{2002}=(10\cdot2002^{667})^3+(10\cdot2002^{667})^3+(2002^{667})^3+(2002^{667})^3. Jadi empat adalah minimum, dan bisa dicapai, sehingga jawaban yang kita cari adalah t=4.

3 Komentar »

  1. Very nice!!

    Komentar oleh wheerryrip — 10 Agustus 2008 @ 12.49

    Balas

  2. apa y maksudnya……..

    tap ok koq,
    makasih tlah share

    Komentar oleh muis_f_n — 30 Nopember 2008 @ 0.09

    Balas

  3. Ok…. I see

    Komentar oleh eggy putra yanuar — 26 Mei 2009 @ 11.50

    Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.