Art of Mathematics

6 Juli 2008

Ketaksamaan Bilangan Asli

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , , , , , , , , — Johan @ 7.40

Berikut ini adalah soal ketaksamaan dari olimpiade regional di Amerika Tengah.

Diberikan bilangan bulat a>1 dan b>2. Buktikan bahwa a^b+1\ge b(a+1). Kapan kesamaan terjadi?

Pertama-tama, kita coba-coba untuk nilai-nilai yang kecil dulu, yaitu a=2 dan b=3. Ternyata a^b+1=9 dan b(a+1)=9, kesamaan terjadi.

Kelihatannya metode induksi bisa dilakukan di sini. Karena b adalah pangkat, sebaiknya kita coba induksi di b. Kasus dasarnya adalah b=3. Kita akan buktikan untuk a>1 bahwa a^3+1\ge3(a+1). Kedua ruas dibagi a+1, sehingga menjadi a^2-a+1\ge3 atau (a+1)(a-2)\ge0, yang pasti benar karena a\ge2. Kesamaan hanya terjadi untuk a=2.

Sekarang, asumsikan untuk b=k, ketaksamaan itu berlaku, di mana k\ge3. Kita harus buktikan bahwa a^{k+1}+1\ge(k+1)(a+1). Ini tidak terlalu sulit, hanya sedikit manipulasi. Mulai dari ruas kiri, a^{k+1}+1=a(a^k+1)-a+1. Kita bisa pakai asumsi a^k+1\ge k(a+1), sehingga menjadi a^{k+1}+1\ge a(k(a+1))-a+1=a(ak-1)+ak+1. Gunakan a\ge2, a^{k+1}+1\ge a(2k-1)+ak+1. Karena 2k-1>k+1 dan a>1, maka menjadi a^{k+1}+1> a(k+1)+(k+1)=(a+1)(k+1). Maka langkah induksi selesai. Ternyata ketaksamaan itu strict, yaitu tidak ada kesamaan, ketika b>3.

Jadi, ketaksamaan itu terbukti dengan kesamaan ketika a=2,b=3.

& Komentar »

  1. waduh, susah ngerti nya pas induksi

    Komentar oleh dolla — 6 Juli 2008 @ 22.16

    Balas

  2. tolong dong di cantumkan pertidaksamaan bilangan asli yang lengkap N komplit… trims…

    Komentar oleh Eva Bla... — 29 Maret 2009 @ 17.35

    Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.