Segienam dari segitiga « Art of Mathematics

30 Juni 2008

Segienam dari segitiga

Diarsipkan di bawah: Geometri — Tag:2005, Add new tag, altitude, asumsi, berpotongan, garis tinggi, Geometri, hukum kosinus, IMO, kongkuren, kongruen, kontradiksi, panjang, sama sisi, segienam, segitiga, sudut, titik — Johan @ 12.26

[IMO 2005] Pada segitiga sama sisi $ABC$ , dipilih enam titik $A_1,A_2$ pada $BC$ , $B_1,B_2$ pada $CA$ , $C_1,C_2$ pada $AB$ . $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ membentuk segi enam sama sisi. Buktikan $A_1B_2,B_1C_2,C_1A_2$ berpotongan di satu titik.

Solusi
Anggap $AC_1>A_1B$ . Maka dengan hukum kosinus, kita punya $AB_2<BC_2$ . Ini menyebabkan $B_1C>AC_1$ . Dengan hukum kosinus lagi kita dapat $CA_2<BC_2$ sehingga $A_1B>AC_1$ , kontradiksi dengan asumsi awal. Jadi kita harus punya $AC_1=A_1B=CB_1$ .

Jadi $\triangle CB_2A_2\cong\triangle BC_2A_2\cong\triangle AB_2C_2$ yang menyebabkan $A_2=B_2=C_2$ . Maka $A_2B_2C_2$ adalah segitiga sama sisi. Jika garis $A_2C_1$ dan $B_2C_2$ berpotongan di $k$ , karena $B_2C_1=C_1C_2$ , maka $\angle C_2kA_2=\angle C_2kC_1=90^\circ$ . Jadi $A_2C_1$ adalah garis tinggi $\triangle A_2B_2C_2$ . Dengan cara yang sama, $B_2A_1,B_1C_2$ juga garis tinggi $\triangle A_2B_2C_2$ . Karena ketiga garis tinggi pasti berpotongan di satu titik, maka terbukti bahwa $A_1B_2,B_2C_2,C_1A_2$ pasti berpotongan di satu titik.