Menghitung pasangan bilangan

[Singapura Junior 2008] Ada enam bilangan asli berbeda . Jack dan Jill melakukan penghitungan. Mereka mengambil semua pasangan dua bilangan di antara enam bilangan itu. Lalu mereka mengambil jumlah dari setiap pasang itu. Jill mendapat 9 bilangan prima sedangkan Jack mendapat 10 bilangan prima. Siapa yang benar?

Solusi
Perhatikan bahwa jumlah pasang tidak mungkin 2, karena 2 hanya bisa didapat dari 1+1, dan bilangan harus berbeda. Jadi semua bilangan prima itu ganjil. Kita akan buktikan ada lebih dari 5 bilangan genap, sehingga Jack salah. Ada pasang bilangan. Jumlah bilangan genap jika dua bilangan keduanya genap atau keduanya ganjil. Di antara enam bilangan itu, ada 7 kemungkinan:
(i) semua genap: 15 bilangan jumlah genap.
(ii) 5 genap, 1 ganjil: bilangan jumlah genap
(iii) 4 genap, 2 ganjil: bilangan jumlah genap
(iv) 3 genap, 3 ganjil: bilangan jumlah genap
(v) 2 genap, 4 ganjil: bilangan jumlah genap
(vi) 1 genap, 5 ganjil: bilangan jumlah genap
(vii) semua ganjil: 15 bilangan jumlah genap.
Jadi selalu lebih dari 5 bilangan genap, sehingga tidak mungkin hanya ada 10 bilangan ganjil, apalagi bilangan prima. Jadi Jack pasti salah. Pada kasus (iv) Jill bisa benar, jika semua bilangan ganjil adalah prima. Maka jawabannya Jill.