Empat bilangan positif « Art of Mathematics

30 Juni 2008

Empat bilangan positif

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:2008, AM-GM, asumsi, bilangan, bilangan asli, bukti, junior, ketaksamaan, kontradiksi, kuadrat, positif, singapura, smo — Johan @ 9.40

[Singapura Junior 2008] Misalkan $a,b,c,d$ adalah bilangan real positif di mana $cd=1$ . Buktikan bahwa terdapat bilangan asli $n$ sehingga

$ab\le n^2\le(a+c)(b+d)$ .

Solusi
Asumsikan sebaliknya, sehingga $ab$ dan $(a+c)(b+d)$ berada di antara dua bilangan kuadrat berurutan. Karena $ab<(a+c)(b+d)$ kita punya bilangan asli $k$ sehingga

$k^2<ab<(a+c)(b+d)<(k+1)^2$ .

Perhatikan bahwa $(a+c)(b+d)-ab<(k+1)^2-k^2$ sehingga $ad+bc+1<2k+1$ atau $ad+bc<2k$ . Dengan AM-GM, kita punya $k>\sqrt{abcd}$ . Tetapi, $k^2<ab=abcd$ menyebabkan $k<\sqrt{abcd}$ . Kontradiksi. Maka terbukti.

Komentar (2)

2 Komentar »

carikan buatkan artikel tentang bilangan cacah,asli,bulat,dan kalau bisa tuliskan artikel tentang bilangan prima

Komentar oleh hendri — 9 Juli 2008 @ 12.06

Balas
trus cariin tentang bilangan kubik dong

Komentar oleh dodo — 10 Agustus 2008 @ 6.35

Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

	Novri Suhermi di Majalah Zer0
	eko di Akar-akar kuadrat
	raharja di About
	raharja di Tiga angka terakhir dari pangk…
	raharja di Bentuk abbb

Art of Mathematics

30 Juni 2008

Empat bilangan positif

2 Komentar »

Tinggalkan komentar

Halaman

Soal Random

Beri Komentar

Komentar