Art of Mathematics

26 Juni 2008

Persamaan fungsional

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , , , , , — Johan @ 18.04

[Makedonia 2007] Tentukan semua fungsi f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} yang memenuhi

f (x^{3}+y^{3}) = x^{2}f (x)+yf (y^{2})

untuk setiap x,y\in\mathbb{R}.

Solusi
x=0,y=0 memberikan f(0)=0.

y=0 memberikan f(x^3)=x^2f(x) sedangkan x=0 memberikan f(y^3)=yf(y)^2.

Jadi f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(y^3) atau f(z+w)=f(z)+f(w).

Karena x^2f(x)=xf(x^2), maka f(x^2)=xf(x) untuk x\ne0.

Untuk x=\ne-1, f((x+1)^2)=(x+1)f(x+1)=(x+1)(f(x)+f(1))=xf(x)+xf(1)+f(x)+f(1).

Tetapi f((x+1)^2)=f(x^2+x+x+1)=f(x^2)+f(x)+f(x)+f(1)=xf(x)+2f(x)+f(1).

Kedua persamaan terakhir menyebabkan f(x)=xf(1) untuk x\ne0,-1. Perhatikan bahwa f(0)=0 dan f(-1)=-f(1). Jadi f(x)=xf(1) untuk setiap bilangan real x. Jadi f(x)=ax untuk suatu konstanta a.

1 Komentar »

  1. good cz i can’t answer this problem

    Komentar oleh umek — 3 Agustus 2008 @ 11.49

    Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.