Art of Mathematics

25 Juni 2008

Polinomial

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , , , , , , , — Johan @ 12.49

[OSP 2008] Diberikan polinomial P(x) = x^{2008} + a_1x^{2007} + a_2x^{2006} + \ldots+ a_{2008} yang memiliki 2008 akar real dan P(2008)\le1. Diberikan polinomial Q(x) = x^2 + 2x + 2008. Buktikan bahwa P(Q(x)) = 0 mempunyai akar real.

Solusi
Misalkan x_1,\ldots,x_{2008} adalah akar-akar P(x). Jika semua akarnya kurang dari 2007, maka P(2008)=(2008-x_1)(2008-x_2)\ldots(2008-x_{2008})>1. Jadi ada akar yang \ge 2007. Misalkan akar ini a\ge2007. Jadi x^2+2x+2008=a harus memiliki akar real. Ini jelas karena akarnya x=-1\pm\sqrt{a-2007} pasti bilangan real. Terbukti.

2 Komentar »

  1. itu kok bisa P(2008 lebih dari 1 padahal dari soal diketahui kalau P(2008)kurang dari sama dengan satu

    Komentar oleh tanpa nama — 27 Juni 2008 @ 9.51

    Balas

  2. Itu namanya bukti dengan kontradiksi. Saya buktikan bahwa ga mungkin semua akarnya kurang dari 2007. :)

    Komentar oleh Johan — 30 Juni 2008 @ 10.48

    Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.