Titik-titik pada lingkaran « Art of Mathematics

22 Juni 2008

Titik-titik pada lingkaran

Diarsipkan di bawah: Kombinatorik — Tag:2001, biru, bukti, busur, keliling, lingkaran, luas, merah, panjang, poligon, segi, tournament of the towns — Johan @ 17.42

[Tournament of the Towns 2001] Misalkan $n\ge3$ adalah bilangan bulat. Sebuah lingkaran dibagi menjadi $2n$ busur dengan $2n$ titik. Setiap busur memiliki satu dari tiga kemungkinan panjang, dan tidak ada dua busur bersebelahan yang memiliki panjang sama. $2n$ titik itu diwarnai merah dan biru selang-seling. Buktikan bahwa segi- $n$ dengan titik sudut merah dan segi- $n$ dengan titik sudut biru memiliki keliling yang sama dan luas yang sama.

Solusi
Misalkan $a,b,c$ adalah tiga panjang busur yang mungkin. Misalkan ada $x$ busur yang panjangnya $a$ , $y$ busur yang panjangnya $b$ , dan $z$ busur yang panjangnya $c$ . Maka $x+y+z=2n$ . Setiap sisi segi- $n$ dengan titik sudut merah berkoresponden dengan busur sepanjang $b+c$ , $c+a$ , atau $a+b$ . Dari $n$ busur ini, $x$ di antaranya terdapat busur $a$ , sehingga banyaknya busur yang panjangnya $b+c$ adalah $n-x$ . Dengan cara serupa, banyaknya busur sepanjang $c+a$ adalah $n-y$ , dan banyaknya busur sepanjang $b+c$ adalah $n-z$ . Hal yang sama persis terjadi pada segi- $n$ dengan titik sudut biru. Jadi kedua poligon memiliki keliling yang sama. Dengan alasan yang sama, luas daerah bagian lingkaran di luar poligon titik sudut merah sama dengan yang di luar poligon titik sudut biru. Ini menyebabkan kedua poligon memiliki luas yang sama.