Bilangan-bilangan dan FPB-nya « Art of Mathematics

22 Juni 2008

Bilangan-bilangan dan FPB-nya

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:2001, bilangan asli, faktor, faktor persekutuan terbesar, fall, fpb, habis dibagi, pbt, pembagi bersama terbesar, selisih, tournament of towns — Johan @ 8.34

[Tournament of the Towns 2001] Apakah ada bilangan asli $a_1<a_2<\ldots<a_{100}$ sehingga untuk $2\le k\le100$ , faktor persekutuan terbesar $a_{k-1}$ dan $a_k$ lebih besar dari faktor persekutuan terbesar $a_k$ dan $a_{k+1}$ ?

Solusi
Untuk $1\le k\le100$ , misalkan $a_k=2^{99}+2^{98}+\ldots+2^{100-k}$ . Untuk $2\le k\le100$ , selisih $a_{k-1}$ dan $a_k$ adalah $2^{100-k}$ . Karena $2^{100-k}$ membagi $a_{k-1}$ dan $a_k$ , itulah faktor persekutuan terbesarnya. Dengan cara serupa, $a_k$ dan $a_{k+1}$ memiliki faktor persekutuan terbesar $2^{100-(k+1)}$ , yang kurang dari $2^{100-k}$ . Maka terdapat 100 bilangan yang memenuhi kondisi itu.