Titik pada lingkaran « Art of Mathematics

20 Juni 2008

Titik pada lingkaran

Diarsipkan di bawah: Geometri — Tag:berurutan, busur, keliling, lingkaran, potong, sudut keliling, tegak lurus, titik, titik tengah — Johan @ 18.03

[Kanada 1975] $A,B,C,D$ adalah empat titik berurutan pada keliling lingkaran dan $P,Q,R,S$ pada keliling lingkaran juga adalah titik-titik tengah dari busur $AB,BC,CD,DA$ . Buktikan bahwa $PR$ tegak lurus terhadap $QS$ .

Solusi
Misalkan $T$ adalah titik potong $PR$ dan $QS$ . Maka $\angle PTS=180^\circ-\angle TPS-\angle PST$ . Tetapi $\angle TPS+\angle PST$ adalah jumlah sudut keliling dari busur $SR,PQ$ . Karena $P,Q,R,S$ titik tengah, maka nilainya $\frac12\cdot180^\circ$ . Jadi $\angle PTS=90^\circ$ . Terbukti.