Persamaan geometris « Art of Mathematics

20 Juni 2008

Persamaan geometris

Diarsipkan di bawah: Geometri — Tag:bukti, busur, diagonal, ekuivalen, Geometri, konveks, lingkaran luar, orthodiagonal, persamaan, pythagoras, radius, segiempat, segitiga, tegak lurus — Johan @ 18.26

[MathLinks] $ABCD$ adalah segiempat konveks dengan diagonal yang saling tegak lurus. Radius dari lingkaran luar $ABCD$ adalah $r$ . Buktikan bahwa

$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=8r^2$ .

Solusi
Misalkan $E\in AC\cap BD$ , dan $AE=a,BE=b,CE=c,DE=d$ . Dengan teorema Pythagoras, maka $AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(a^2+b^2+c^2+d^2)$ . Jadi kita akan buktikan $a^2+b^2+c^2+d^2=4r^2$ .

Pada segitiga $ABC$ , $R=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4L}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{b^2+c^2}\cdot AC}{2AC\cdot b}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{b^2+c^2}}{2b}$ . Jadi $4R^2=\frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}{b^2}$ . Sekarang kita akan buktikan $\frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}{b^2}=a^2+b^2+c^2+d^2$ . Persamaan terakhir ini ekuivalen dengan $a^2c^2=b^2d^2$ , atau $ac=bd$ , yang terbukti dengan teorema dua busur berpotongan.