Ketaksamaan bilangan dan permutasinya

20 Juni 2008

[IMO 1975] Misalkan $x_i,y_i$ adalah bilangan real sehingga

$x_1\ge x_2\ge\ldots\ge x_n$ dan $y_1\ge y_2\ge\ldots\ge y_n$ .

Misalkan $z_1,z_2,\ldots,z_n$ adalah permutasi dari $y_1,y_2,\ldots,y_n$ . Buktikan bahwa

$\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2\le\sum_{i=1}^n(x_i-z_i)^2$ .

Solusi
Ketaksamaan yang diminta ekuivalen dengan

$\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i^2-2x_iy_i+y_i^2)\le\sum_{i=1}^n(x_i^2-2x_iz_i+z_i^2)$ .

Karena $\sum y_i^2=\sum z_i^2$ , maka ketaksamaan tadi ekuivalen dengan

$\displaystyle\sum_{i=1}^n(-x_iy_i)\le\sum_{i=1}^n(-x_iz_i)$ ,

atau

$\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_iz_i)\le\sum_{i=1}^n(x_iy_i)$ ,

yang terbukti dengan rearrangement.

Belum ada komentar.

	Novri Suhermi di Majalah Zer0
	eko di Akar-akar kuadrat
	raharja di About
	raharja di Tiga angka terakhir dari pangk…
	raharja di Bentuk abbb