Art of Mathematics

20 Juni 2008

Ketaksamaan barisan

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , , , , , , , , — Johan @ 20.29

[IMO 1978] Misalkan \{a_1,a_2,\ldots,a_n\} adalah barisan bilangan asli yang berbeda. Buktikan bahwa

\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k^2}\ge\sum_{k=1}^n\frac1n.

Solusi
Ruas kanan dapat ditulis menjadi \sum\frac{n}{n^2}. Ruas kiri minimum jika a_1,a_2,\ldots,a_n memiliki nilai 1,2,\ldots,n, dalam suatu urutan. Perhatikan barisan (1,2,\ldots,n), (\frac1{1^2},\frac1{2^2},\ldots,\frac1{n^2}). Barisan ini urutannya terbalik, yang satu naik, yang satu turun. Ruas kanan pada soal adalah perkalian suku-suku dua barisan dengan urutan terbalik, sedangkan ruas kiri belum tentu pada urutan terbalik. Jadi, menurut aturan rearrangement, terbukti.

No Comments Yet »

Belum ada komentar.

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.