Art of Mathematics

19 Juni 2008

Titik pada hipotenusa

Diarsipkan di bawah: Geometri — Tag:, , , , , , , , , — Johan @ 22.24

[Kanada 1969] Misalkan ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki. Kedua kaki yang sama memiliki panjang 1. P adalah titik pada hipotenusa, dan dibuat proyeksi dari P ke sisi BC dan AC. PR,PQ adalah hasil proyeksinya, sehingga terbentuk dua segitiga PBR,PQA, dan segiempat PQRC. Buktikan bahwa yang terbesar di antara tiga bangun ini memiliki luas tidak kurang dari 2/9.

Solusi
Misalkan BR=RP=QC=x. Jika x\ge\frac23, maka \triangle BRP=\frac12x^2\ge\frac29. Jika x\le\frac13, maka \triangle PQA=\frac12(1-x)^2\ge\frac29. Jika \frac13<\frac23, maka -\frac16<\frac16 atau (x-\frac12)^2<\frac{1}{36}, sehingga PQCR=x(1-x)=\frac14-(x-\frac12)^2>\frac14-\frac1{36}=\frac29. Maka untuk semua kasus sudah terbukti.

Tidak ada Komentar »

Belum ada komentar.

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.