Polinomial bulat « Art of Mathematics

19 Juni 2008

Polinomial bulat

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:kontradiksi, fungsi, bilangan bulat, polinomial, koefisien, bilangan, berbeda, nilai — Johan @ 22.45

[Kanada 1970] Diberikan polinomial $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}+a_n$ , dengan koefisien bulat. Jika terdapat empat bilangan bulat berbeda $a,b,c,d$ sehingga $f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5$ , buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat $k$ sehingga $f(k)=8$ .

Solusi
Perhatikan bahwa $f(x)-5$ memiliki akar-akar $a,b,c,d$ . Maka dapat ditulis $f(x)-5=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)g(x)$ , di mana $g(x)$ adalah polinomial berkoefisien bulat. Maka jika $f(k)=8$ , $(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)g(x)=3$ . Maka tiga dari empat bilangan $(k-a),(k-b),(k-c),(k-d)$ bernilai $-1$ atau $1$ . Kontradiksi bahwa keempat bilangan itu berbeda. Maka terbukti.