Art of Mathematics

18 Juni 2008

Jumlah nilai sinus

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , , — Johan @ 22.12

[MathLinks] Jika A,B,C adalah sudut-sudut segitiga, buktikan bahwa \sin A + \sin B + \sin C \le 3 (\sqrt3)/2 .

Solusi
Perhatikan bahwa

\displaystyle\sin A + \sin B + \sin C + \sin 60^\circ \leq 2\sin {\frac {A + B}{2}} + 2 \sin {\frac {C + 60^\circ}{2}} \leq 4 \sin {\frac {A + B + C + 60^\circ}{4}} = 4 \sin 60^\circ.

Maka \sin A+\sin B+\sin C\le 3\sin 60^\circ=\frac{3\sqrt3}2. Terbukti.

3 Tanggapan »

  1. penyelesaiannya kurang di mengerti

    Komentar oleh indra — 31 Agustus 2008 @ 13.35

  2. Begini:
    kita tahu bahwa:
    \sin X+\sin Y = 2\sin\dfrac{X+Y}{2}\cos\dfrac{X-Y}{2} \leq 2\sin\dfrac{A+B}{2}, karena
    \cos\dfrac{X-Y}{2}\leq 1
    Terus lemma ini digunakan berkali-kali dalam rumusan di atas.

    Komentar oleh iVan Wangsa C.L. — 1 September 2008 @ 12.04

  3. Baris yang \sin X+\sin Y = 2\sin\dfrac{X+Y}{2}\cos\dfrac{X-Y}{2} \leq 2\sin\dfrac{A+B}{2} salah, harusnya:
    \sin X+\sin Y = 2\sin\dfrac{X+Y}{2}\cos\dfrac{X-Y}{2} \leq 2\sin\dfrac{X+Y}{2}

    Komentar oleh iVan Wangsa C.L. — 1 September 2008 @ 12.05

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.