Polinomial « Art of Mathematics

17 Juni 2008

Polinomial

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:1983, akar, AM-GM, bukti, hungaria, koefisien, negatif, polinomial, positif, real, ruas kanan, ruas kiri, teorema binomial, teorema vieta — Johan @ 12.05

[Hungaria 1983] Polinomial $f(x)$ memiliki koefisien awal dan akhir 1, dan koefisien lainnya tidak negatif:

$f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+1$ .

Jika $f(x)=0$ memiliki $n$ akar real, buktikan bahwa $f(2)\ge3^n$ .

Solusi
Karena semua koefisiennya positif, jika $x$ tidak negatif, maka $f(x)$ juga positif. Jadi jika $f(x)=0$ maka $x$ negatif. Semua akar-akar $f(x)=0$ negatif, misalkan $-r_1,-r_2,-r_3,\ldots,-r_n$ . Maka $f(x)=(x+r_1)(x+r_2)(x+r_3)\ldots(x+r_n)$ .

Dengan teorema Vieta, kita punya koefisien $a_k=\sum r_{i1}+r_{i2}+r_{i3}+\ldots+r_{ik}$ . Koefisien terakhir adalah $r_1r_2r_3\ldots r_n=1$ .

Gunakan AM-GM untuk mendapat

$\displaystyle\frac{a_k}{\binom{n}{k}}=\frac{\sum r_{i1}+r_{i2}+r_{i3}+\ldots+r_{ik}}{\binom{n}{k}}\ge\left(\prod r_{i1}r_{i2}r_{i3}\ldots r_{ik}\right)^{1/\binom{n}k}$ .

Sehingga kita dapat $\displaystyle a_k\ge{\binom{n}{k}}\left(\prod r_{i1}r_{i2}r_{i3}\ldots r_{ik}\right)^{1/\binom{n}k}$ . Tetapi $\prod r_{i1}r_{i2}r_{i3}\ldots r_{ik}=1$ , sehingga $a_k\ge\binom{n}k$ .

Jadi

$\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^{n-k}\ge\sum_{k=0}^n\binom{n}kx^{n-k}$ .

Untuk $x=2$ , kita punya

$\displaystyle f(2)\ge\sum_{k=0}^n\binom{n}k2^{n-k}$ .

Dengan teorema binomial, ruas kanan sama dengan $\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}k1^k2^{n-k}=(1+2)^n=3^n$ . Maka terbukti.

	Novri Suhermi di Majalah Zer0
	eko di Akar-akar kuadrat
	raharja di About
	raharja di Tiga angka terakhir dari pangk…
	raharja di Bentuk abbb

Art of Mathematics

17 Juni 2008

Polinomial

No Comments Yet »

Tinggalkan komentar

Halaman

Soal Random

Beri Komentar

Komentar