Art of Mathematics

17 Juni 2008

Membagi bilangan bulat menjadi tiga subhimpunan

Diarsipkan di bawah: Kombinatorik — Tag:, , , , , , , — Johan @ 13.55

[Kvant 1987] Mungkinkah kita membagi himpunan bilangan bulat menjadi tiga bagian, sehingga n,n-50,n+1987 selalu berada pada subhimpunan yang berbeda?

Solusi
Anggaplah kita bisa melakukan itu. Misalkan a\sim b menyatakan a dan b berada di subhimpunan yang sama, dan (a,b,c) menyatakan a,b,c berada di subhimpunan yang berbeda.

Perhatikan bahwa (n-50,n-100,n+1937) dan (n+1987,n+1937,n+2\cdot1987). Jadi n+1937 tidak satu himpunan dengan n-50 ataupun n+1987. Tetapi n-50,n+1987,n berada pada himpunan yang berbeda, sehingga n\sim n+1937.

Sekarang, perhatikan bahwa (n-100,n-50,n+1937). Tetapi n selalu bersama n+1937, sehingga (n-100,n-50,n). Tetapi kita juga punya (n-150,n-100,n-50), sehingga n\sim n-150.

Jadi kita bisa dapat

0\sim1937\sim2\cdot1937\sim\ldots\sim50\cdot1937=646(150)-50\sim645(150)-50\sim644(150)-50\sim\ldots\sim-50.

Jadi 0 dan 50 berada di satu subhimpunan, kontradiksi dengan syarat awal. Jadi kita tidak bisa membagi himpunan bilangan bulat seperti itu.

1 Komentar »

  1. thanks t smua,td t klengkapn tgs2 tlng d prbnyak consolny…..

    Komentar oleh edho pratama — 9 September 2008 @ 16.40

    Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.