Matriks 1987×1987

[From Erdos to Kiev] Sebuah matriks berukuran setiap komponennya adalah bilangan real yang memiliki nilai mutlak tidak lebih dari 1. Setiap submatriks selalu memiliki jumlah komponen 0. Buktikan bahwa jumlah seluruh anggota tidak lebih dari 1987.

Solusi
Anggaplah kotak di sudut kiri atas dipisahkan dahulu. Sekarang kita bagi-bagi matriks itu menjadi bagian yang berbentuk L. Karena setiap bagian memiliki jumlah 0, kita bisa buang bagian-bagian itu. Jadi kita hanya perhatikan seperti gambar berikut.

Jadi jumlah semua matriks sama dengan jumlah dari semua bentuk L itu ditambah kotak kecil di sudut kiri atas. Kita buktikan dulu bahwa setiap bentuk L itu memiliki jumlah tidak lebih dari 2. Perhatikan gambar berikut.

Jumlah komponen-komponen ini adalah

.

Jadi jumlah seluruh komponen itu tidak lebih dari . Terbukti.