Ketaksamaan dalam interval (-1,1)

17 Juni 2008

Ketaksamaan dalam interval (-1,1)

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:AM-GM, interval, ketaksamaan, Pertidaksamaan, real, riil, ruas kanan, ruas kiri — Johan @ 7.55

[MathLinks] Misalkan $x,y,z$ adalah bilangan real dalam interval (-1,1). Buktikan $\displaystyle\frac{1}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}+\frac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\geq 2$ .

Solusi
Perhatikan bahwa $0\le 1-x,1+x,1-x^2\le1$ , yang menyebabkan $\dfrac{1}{1+x}\ge x-1$ , begitu pula untuk $y,z$ . Maka $\dfrac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)}\ge(x-1)(y-1)(z-1)$ . Maka ruas kiri ketaksamaan pada soal $\ge \displaystyle\frac{1}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}+\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\ge2$ , dengan AM-GM. Sehingga terbukti.