Segiempat konveks « Art of Mathematics

13 Juni 2008

Segiempat konveks

Diarsipkan di bawah: Geometri — Tag:segitiga, keliling, kosinus, sebangun, konveks, segi empat, hukum kosinus, law of cosines, simliar — Johan @ 19.02

[IMOMath] Misalkan $ABCD$ segiempat konveks dengan keliling 640. Diketahui $AB=CD=180$ , $BC\ne AD$ , dan $\angle A=\angle C$ . Tentukan $\cos A$ .

Solusi
Kita bisa perhatikan segi empat yang sebangun, dengan keliling $32$ dan $AB=CD=9$ . Misalkan $BC=a$ . Dengan hukum kosinus, memperhatikan $ABD$ dan $BCD$ , kita dapat $BD^2=a^2+9^2-2\cdot9a\cos C=(14-a)^2+9^2-2\cdot9(14-a)\cos A$ . Dari sini kita sederhanakan menjadi $(\cos A-\frac79)(a-7)=0$ . Jika $a-7=0$ , maka $BC=AD=7$ , sehingga $\cos A=\frac79$ .