Polinomial 1+x+x^2+x^3 « Art of Mathematics

13 Juni 2008

Polinomial 1+x+x^2+x^3

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:persamaan, polinomial, akar, solusi, rumus, olimpiade, forum, vieta, olimpiade.org — Johan @ 17.15

[Olimpiade.org] Misalkan $P(x)=1+x+x^{2}+x^{3}$ memiliki akar-akar $a,b,c$ .
Carilah nilai dari $a^{2007}+b^{2003}+c^{1999}$ .

Solusi
Perhatikan bahwa $0=1+a+a^2+a^3=(1+a+a^2+a^3)(1-a)=1-a^4$ . Maka $a^4=1$ . Dengan cara yang sama didapat $b^4=1,c^4=1$ . Maka $a^{2007}+b^{2003}+c^{1999}=a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc$ . Dengan rumus Vieta, didapat $a+b+c-1,ab+bc+ca=1,abc=-1$ . Maka $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca=-1$ . Maka jawabannya $(-1)(-1-1)+3(-1)=-1$ .