Midline lebih panjang dari median

12 Juni 2008

Midline lebih panjang dari median

Diarsipkan di bawah: Geometri — Tag:bukti, diameter, garis, garis berat, Geometri, jari-jari, lingkaran, median, midline, panjang, radius, segitiga, titik tengah, tumpul — Johan @ 14.04

[Tournament of Towns 2001] Midline segitiga adalah garis yang menghubungkan titik tengah dari dua sisi segitiga. Pada $\triangle ABC$ , salah satu midlinenya lebih panjang dari pada salah satu garis beratnya. Buktikan bahwa $\triangle ABC$ adalah segitiga tumpul.

Solusi
Misalkan titik tengah $AB$ dan $BC$ adalah $M$ dan $N$ berturut-turut. Maka $MN$ adalah midlinenya. Asumsikan midline $MN$ ini lebih panjang dari garis berat $BK$ . Kita buat lingkaran dengan pusat $K$ dan diameter $AC$ . Dengan kesebangunan, kita dapat $MN=\frac12AC$ , sehingga $MN$ sama dengan panjang radius. Karena itu, $BK$ kurang dari panjang radius, sehingga $B$ berada di dalam lingkaran dan $\angle ABC>90^\circ$ . Akibatnya segitiga itu tumpul.

Asumsikan $MN$ lebih panjang dari $AN$ . Buat lingkaran dengan pusat $N$ , dan jari-jari $MN$ . Misalkan $ML$ adalah diameter. Karena $AN$ kurang dari $MN$ yang adalah radius lingkaran, maka $A$ berada di dalam lingkaran, dan $\angle BAC>90^\circ$ . Akibatnya segitiga itu adalah segitiga tumpul.