Subhimpunan dengan jumlah anggota sama

[IMO 1972] Buktikan dari sebuah himpunan yang terdiri dari sepuluh bilangan-bilangan dua digit berbeda, kita dapat memilih dua buah subhimpunan yang tidak beririsan yang jumlah semua anggotanya adalah sama.

Solusi
Banyaknya subhimpunan tak kosong yang berbeda adalah . Jumlah maksimum anggota suatu himpunan adalah , sedangkan jumlah minimumnya adalah . Jadi ada jumlah anggota yang berbeda yang mungkin. Karena , pasti terdapat dua subhimpunan berbeda (bisa beririsan) yang jumlah anggotanya sama.

Misalkan subhimpunan ini adalah dan , dan irisannya adalah . Maka dan menjadi dua subhimpunan yang tidak beririsan yang jumlah anggotanya sama. Terbukti.