Art of Mathematics

11 Juni 2008

Fungsi naik multiplikatif

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , , , , — Johan @ 11.44

[Kanada 1969] Tentukan semua fungsi f:\mathbb{N} \to \mathbb{N} sehingga untuk semua m, \, n\in \mathbb{N^+}: f(2) = 2, f(mn) = f(m)f(n), f(n + 1) > f(n).

Solusi
Perhatikan bahwa f(1\cdot2)=f(1)f(2) menyebabkan f(1)=1. Tetapi f(2n)=f(2)f(n)=2f(n), sehingga f(2^k)=2^k untuk setiap bilangan asli k. Perhatikan bahwa 2^k=f(2^k)<f(2^k+1)<f(2^k+2)<\ldots<f(2^{k+1}-1)<f(2^{k+1})=2^{k+1}. Maka kita punya barisan naik f(2^k),f(2^k+1),f(2^k+2),\ldots,f(2^{k+1}) yang nilainya adalah bilangan-bilangan dari 2^k sampai 2^{k+1}. Maka f(n)=n untuk 2^k\le n\le 2^{k+1}. Tetapi ini benar untuk k bilangan asli sehingga benar juga untuk n\ge2. Jadi f(x)=x.

Tidak ada Komentar »

Belum ada komentar.

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.