Art of Mathematics

10 Juni 2008

Persamaan eksponensial

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , , , , , — Johan @ 22.17

[IMOmath Tests] Persamaan 2^{333x-2}+2^{111x+2}=2^{222x+1}+1 memiliki tiga akar real. Jika jumlah ketiga akarnya ditulis dalam bentuk \frac{m}{n}, di mana m,n bilangan real positif yang relatif prima, tentukan m+n.

Solusi
Misalkan 2^{111x}=r. Jika akar-akarnya adalah x_1,x_2,x_3, maka r_1\cdot r_2\cdot r_3=2^{111(x_1+x_2+x_3)}. Persamaan pada soal menjadi \dfrac{r^3}{4}+4r=2r^2+1, atau r^3-8r^2+16r+4=0. Dengan teorema Vieta, didapat r_1\cdot r_2\cdot r_3=4, sehingga 4=2^{111(x_1+x_2+x_3)}. Maka x_1+x_2+x_3=\dfrac{2}{111}, sehingga didapat m+n=113.

No Comments Yet »

Belum ada komentar.

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.