Garis-garis di papan « Art of Mathematics

10 Juni 2008

Garis-garis di papan

Diarsipkan di bawah: Kombinatorik — Tag:segitiga, Geometri, Kombinatorik, garis tinggi, invarian, panjang, siku-siku, garis, tinggi, segmen — Johan @ 15.15

[Belarus 1999] Beberapa segmen garis dibuat di papan tulis. Kita dapat menghapus dua segmen garis, kemudian membuat satu segmen garis baru. Panjang segmen garis baru ini harus merupakan tinggi dari segitiga siku-siku yang kaki-kakinya adalah segmen garis yang dihapus. Kita lakukan ini terus sampai hanya tersisa satu segmen garis. Buktikan bahwa urutan penghapusan segmen tidak mempengaruhi panjang segmen terakhir. Tentukan panjang segmen terakhir jika ada 2 segmen sepanjang 2, 3 segmen sepanjang 3, 6 segmen sepanjang 6.

Solusi
Jika garis yang dihapus panjangnya $a,b$ dan garis baru panjangnya $h$ , maka $ab=\sqrt{a^2+b^2}h$ , sehingga $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$ . Maka, jika awalnya ada segmen-segmen sepanjang $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , segmen terakhir panjangnya $x$ , maka $\dfrac{1}{x^2}=\dfrac1{a_1^2}+\dfrac1{a_2^2}+\ldots+\dfrac1{a_n^2}$ , dan tidak bergantung pada urutan penghapusan. Untuk pertanyaan kedua, maka panjang akhirnya adalah $\dfrac{2}{2^2}+\dfrac{3}{3^2}+\dfrac{6}{6^2}=1$ .