Art of Mathematics

8 Juni 2008

Nilai limit

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , , , , , — Johan @ 21.02

[Belgia 1987] Jika p>1, buktikan bahwa

\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1^p+2^p+...+(n-1)^p+n^p+(n-1)^p+...+2^p+1^p}{n^2} = +\infty.

Tentukan limitnya jika p=1.

Solusi
Dengan power mean inequality, didapat \left(k^p+(n-k)^p\right)\ge 2\left(\frac{n}{2}\right)^p. Maka, substitusi ini ke nilai limit tadi, didapat 1^p+2^p+...+(n-1)^p+n^p+(n-1)^p+...+2^p+1^p\ge 2n\cdot\left(\frac{n}{2}\right)^p\to \infty.

Jika p=1, maka pembilang menjadi 1+2+\ldots+(n-1)+n+(n-1)+\ldots+2+1=n^2, sehingga nilai limitnya 1.

No Comments Yet »

Belum ada komentar.

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.