Art of Mathematics

31 Mei 2008

Nilai minimum bilangan

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:, , , , , , , , , — Johan @ 14.10

[Baltic Way 1999] Tentukan nilai minimum k bilangan asli yang dapat dinyatakan dalam k=19^n-5^m, di mana m,n adalah bilangan asli.

Solusi
Perhatikan bahwa 19^1-5^1=14. Saya akan buktikan bahwa tidak ada k yang kurang dari 14. Pertama, bagi menjadi dua kasus.

(i) n bilangan genap. Maka 19^n berakhiran dengan 1, dan k berakhiran dengan 6. Agar k<14, maka k=6. Jadi kita akan mencari solusi dari 19^n-5^m=6. Maka 5^m=19^n-6\equiv1\pmod3. Perhatikan bahwa 5^m=(6-1)^m=6X+(-1)^m, untuk suatu bilangan bulat X. Maka, jika 5^m\equiv1\pmod3, maka m genap. Misalkan m=2m',n=2n'. Kita dapat 19^n-5^m=(19^{n'}+5^{m'})(19^{n'}-5^{m'})=6. Tetapi (19^{n'}+5^{m'})>6, sehingga tidak ada solusi.

(ii) n bilangan ganjil. Maka 19^n berakhiran dengan 9, dan k berakhiran dengan 4. Agar k<14, maka k=4. Tetapi k=19^n-5^m\equiv1\pm1\pmod3, sehingga tidak mungkin sama dengan 4.

Jadi, nilai minimumnya adalah 14.

2 Komentar »

  1. hmm harusnya syarat di soal ditambah tuh. k juga harus bilangan asli. kalo enggak k minimumnya bukan 14, soalnya nilai k bisa minus. terima kasih

    Komentar oleh Erwin — 31 Mei 2008 @ 21.44

    Balas

  2. Terima kasih Erwin, sudah saya betulkan.

    Komentar oleh Johan — 31 Mei 2008 @ 21.55

    Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.