Rata-rata median dari subhimpunan

18 Mei 2008

Rata-rata median dari subhimpunan

Diarsipkan di bawah: Kombinatorik — Tag:2008, anggota, harvard, himpunan, median, mit, pasangan, rata-rata, statistik, subhimpunan — Johan @ 12.03

[HMMT 2008] Misalkan $S=\{1,2,3,\ldots,2008\}$ . Untuk setiap subhimpunan tidak kosong $A\in S$ , misalkan $m(A)$ adalah median dari $A$ . Tentukan nilai rata-rata dari $m(A)$ .

Solusi
Untuk setiap subhimpunan $A=\{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n\}$ , terdapat subhimpunan lain $A'=\{2009-a_1,2009-a_2,2009-a_3,\ldots,2009-a_n\}$ . Misalkan $m(A)=a_j$ . Maka $m(A')=2009-a_j$ . Rata-rata dua median ini adalah $\frac12(a_j+2009-a_j)=\frac{2009}2$ . Jadi, untuk setiap pasangan subhimpunan, rata-rata mediannya adalah $\frac{2009}2$ , yang menyebabkan rata-rata semua median adalah $\dfrac{2009}2$ .