Barisan aritmetika bilangan prima

10 Mei 2008

Barisan aritmetika bilangan prima

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:1999, AIME, aritmetika, barisan, bilangan, minimum, prima, selisih, suku, Teori Bilangan — Johan @ 8.59

[AIME 1999] Terdapat barisan aritmetika dengan lima suku, semuanya bilangan prima. Tentukan nilai minimum dari suku kelima.

Solusi
Jika suku pertama adalah $2$ , maka suku ketiga bilangan genap yang tidak mungkin bilangan prima. Jika suku pertama adalah $3$ , maka suku keempat habis dibagi tiga, dan bukan bilangan prima. Asumsikan suku pertama $5$ . Selisih antar suku tidak mungkin $1$ , $3$ , $4$ , atau $5$ , karena menyebabkan suku kedua bukan bilangan prima. Jika selisihnya $2$ , maka suku ketiga adalah $9$ , bukan bilangan prima. Jika selisihnya $6$ , maka barisannya $5,11,17,23,29$ . Nilai minimumnya adalah $29$ .