Art of Mathematics

29 April 2008

Jumlah

Diarsipkan di bawah: Matematika Universitas — Tag:, , , , , , — Johan @ 19:13

[Mathematical Reflections 2006] Tentukan jumlah berikut \displaystyle\sum^{\infty}_{k=0}\frac{2k+1}{(4k+1)(4k+3)(4k+5)}.

Solusi
Bentuk di atas dapat diubah dengan

\displaystyle\frac{2k+1}{(4k+1)(4k+3)(4k+5)}=\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4k+1}+\frac18\cdot\frac{1}{4k+3}-\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{4k+5}.

Maka jumlah tadi menjadi

\displaystyle S=\frac{1}{16}\cdot\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{4k+1}+\frac18\cdot\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{4k+3}-\frac{3}{16}\cdot\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{4k+5}.

Dengan menyusun ulang dan mengelompokkan suku-sukunya, didapat

\displaystyle S=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{16}-\frac{3}{16}\right)\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{4k+1}+\frac18\cdot\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{4k+3}=\frac3{16}-\frac18\sum^{\infty}_{k=0}\left(\frac{1}{4k+1}-\frac1{4k+3}\right),

yang dapat disederhanakan menjadi

\displaystyle S=\frac{3}{16}-\frac18\left(\frac11-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots\right)=\frac{3}{16}-\frac18\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{6-\pi}{32}.

Tidak ada Komentar »

Belum ada komentar.

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.