Art of Mathematics

21 April 2008

GMO Ineq

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , , , , — Johan @ 18.52

[Ivan Wangsa C.L.] Untuk 0<a,b<1, buktikan:

\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{a^2+b^2-2a+1}+\sqrt{a^2+b^2-2b+1}+\sqrt{a^2+b^2-2a-2b+2}\geq 2\sqrt2

Solusi
Sederhanakan ruas kiri menjadi:

\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{(1-a)^2+b^2}+\sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{(1-a)^2+(1-b)^2}

Perhatikan bahwa a,b,1-a,1-b\in\mathbb{R}^{+}
Maka, kita dapat menggunakan QM-AM inequality. Didapat:

\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{(1-a)^2+b^2}+\sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{(1-a)^2+(1-b)^2}\geq\frac{a+b}{\sqrt2}+\frac{1-a+b}{\sqrt2}+\frac{a+1-b}{\sqrt2}+\frac{1-a+1-b}{\sqrt2}=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2 [Q.E.D.]

7 Tanggapan »

  1. wah jlimet….

    Komentar oleh lia — 23 April 2008 @ 20.06

  2. ehmm..gt ya!!!!

    Komentar oleh ajang — 25 April 2008 @ 20.04

  3. Haha…
    Ini bisa dibuktikan secara geometris lo…

    Komentar oleh mondz — 25 September 2008 @ 13.07

  4. Secara geometris itu solusi rada konyol.

    Komentar oleh iVan Wangsa C.L. — 29 September 2008 @ 11.16

  5. Memang…
    Hanya dengan Phytagoras…

    Komentar oleh mondz — 29 September 2008 @ 13.13

  6. Ga juga si. Kalo lu pake solusi geometris, lu bisa jadi lupa akan adanya kesamaan :D

    Komentar oleh iVan Wangsa C.L. — 1 Oktober 2008 @ 9.29

  7. Oh ya…
    Haha…

    Komentar oleh mondz — 3 Oktober 2008 @ 22.08

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.