Permainan bilangan empat sekawan

[GMO - Olimpiade.org] 4 buah bilangan kompleks , , , disebut 4 sekawan jika ada bilangan real positif , , dan sehingga memiliki solusi , , , .

Ani dan Budi memainkan sebuah permainan sebagai berikut:
Berturut-turut setiap orang menuliskan satu buah bilangan kompleks di papan. Ani menulisnya dengan
spidol merah, dan Budi menulisnya dengan spidol biru.
Syarat bilangan kompleks yang boleh dipilih adalah :
a)
b) Untuk setiap bilangan kompleks yang sudah dituliskan di papan, maka .

Jika pada suatu saat terdapat 4 sekawan berwarna merah, maka Ani menang. Sebaliknya, jika ada 4
sekawan yang berwarna biru, maka Budi menang. Jika tidak ada lagi bilangan kompleks yang dapat
dipilih lagi, maka pemain yang kehabisan langkah kalah.

Ani mendapat giliran pertama. Buktikan bahwa ada strategi supaya Ani menang!

Catatan : Untuk maka

Solusi
Perhatikan bahwa jika adalah akar dari , maka juga akarnya, karena merupakan fungsi genap. Jadi Ani dapat mencegah Budi mendapat empat sekawan biru dengan menuliskan nilai negatif dari bilangan Budi.

Strategi Ani adalah memilih bilangan 0, kemudian selalu memilih nilai negatif dari bilangan Budi. Sekarang kita buktikan bahwa ini akan menjamin kemenangan Ani.

Setiap kali memilih satu bilangan , anggaplah kita memilih satu titik pada koordinat yaitu . Pada koordinat , , sehingga batasnya adalah lingkaran berjari-jari 2008. Setiap kali memilih satu titik, kita tidak bisa memilih titik pada radius dari titik itu. Jadi soal ini sama saja dengan menaruh tutup gelas dengan tutup gelas berjari-jari dan meja berjari-jari 2008. Strateginya adalah Ani menulis 0, ini sama dengan titik tengah meja. Setelah itu, Ani selalu menulis nilai negatif dari bilangan Budi, ini sama dengan menaruh tutup gelas simetris dari tempat Budi.