Garis dividen segitiga

[GMO - Olimpiade.org] Katakan sebuah garis dalam segitiga dividen apabila ditarik dari suatu sudut segitiga, dan membagi
segitiga menjadi dua bagian dengan keliling sama.
Buktikan ketiga dividen suatu segitiga selalu berpotongan di satu titik !

Solusi
Misalkan sisi-sisi segitiga itu adalah , , , di mana , , , , , adalah segmen garis dari sisi segitiga yang terbagi oleh garis dividen. Perhatikan gambar berikut.

Maka didapat tiga persamaan, yaitu

, , .

Dari persamaan satu dikurangi persamaan dua, maka , yang menyebabkan . Dengan cara yang sama, dengan membandingkan persamaan-persamaan, didapat dan .

Menurut teorema Ceva, untuk membuktikan ketiga dividen berpotongan di satu titik, cukup dibuktikan bahwa . Tetapi

.

Maka ketiga dividen berpotongan di satu titik.