Garis bagi dan sisi segitiga « Art of Mathematics

18 April 2008

Garis bagi dan sisi segitiga

Diarsipkan di bawah: Geometri — Tag:bukti, garis, garis bagi, Geometri, kesebangunan, lingkaran, lingkaran luar, perpanjangan, perpotongan, persamaan — Johan @ 14.47

[MathWiki] Pada segitiga $ABC$ , $BD$ adalah garis bagi $\angle ABC$ . Jika $BD=t$ , $AD=x$ , $DC=y$ , $AB=c$ , $BC=a$ , seperti gambar di bawah, buktikan bahwa $ac=t^2+xy$ .

Solusi

Buat lingkaran luar segitiga dan perpanjang $BD$ agar bertemu lingkaran di titik $E$ . Hubungkan titik $C$ dan $E$ . Karena $\angle ABD = \angle EBC$ dan $\angle BAD = \angle BEC$ , maka $\triangle BAD \sim \triangle BEC$ . Jadi $\frac{BA}{BD}=\frac{BE}{BC}$ , atau $BE=\frac{ac}{t}$ . Dengan cara yang sama, karena $\triangle CDE \sim \triangle BDA$ , maka $DE=\frac{xy}{t}$ . Tetapi $BE=BD+DE$ , sehingga $\dfrac{ac}{t}=t+\dfrac{xy}{t}$ . Kedua ruas dikalikan $t$ , sehingga $ac=t^2+xy$ terbukti.