Art of Mathematics

15 April 2008

Ketaksamaan sisi segitiga

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:, , , , , , — Johan @ 17.34

[Crux Mathematicorum 2571] Misalkan a, b, c adalah sisi-sisi pada sebuah segitiga. Buktikan bahwa

\dfrac1{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}+\dfrac1{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}+\dfrac1{\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}\ge\dfrac{3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{a+b+c}.

Solusi
Dengan ketaksamaan AM-GM, kita dapat

(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=(a+b+c)+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\le3(a+b+c).

Maka, dengan ketaksamaan AM-HM, kita dapat

\dfrac{3}{\dfrac1{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}+\dfrac1{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}+\dfrac1{\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}}}\le\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}3

\dfrac{3}{\dfrac1{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}+\dfrac1{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}+\dfrac1{\sqrt{c}+\sqrt{a}+\sqrt{b}}}\le\dfrac{a+b+c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}},

yang ekuivalen dengan ketaksamaan yang diinginkan.

No Comments Yet »

Belum ada komentar.

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

Tinggalkan komentar

Blog pada WordPress.com.