Ketaksamaan « Art of Mathematics

15 April 2008

Ketaksamaan

Diarsipkan di bawah: Aljabar — Tag:bilangan real, bukti, cauchy-schwartz, cauchy-schwarz, ineq, inequality, ketaksamaan, Matematika, Nesbitt, positif, soal, solusi — Johan @ 12.48

[Mathematical Reflections 2007] Misalkan $a$ , $b$ , $c$ adalah bilangan real positif. Buktikan bahwa

$\dfrac{a}{b(b+c)^2}+\dfrac{b}{c(c+a)^2}+\dfrac{c}{a(a+b)^2}\ge\dfrac{9}{4(ab+bc+ca)}$ .

Solusi
Menggunakan ketaksamaan Cauchy-Schwarz kita mendapat

$\displaystyle\left(ab+bc+ca\right)\left(\dfrac{a}{b(b+c)^2}+\dfrac{b}{c(c+a)^2}+\dfrac{c}{a(a+b)^2}\right)\ge\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2$ .

Maka cukup dibuktikan bahwa

$\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2\ge\dfrac94$

atau

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac32$ ,

yang terbukti benar dari ketaksamaan Nesbitt.

Komentar (1)

1 Komentar »

what the paradise…

Komentar oleh fjjhg — 11 Desember 2008 @ 19.07

Balas

RSS umpan untuk komentar-komentar dalam tulisan ini. URI Lacak Balik

	Novri Suhermi di Majalah Zer0
	eko di Akar-akar kuadrat
	raharja di About
	raharja di Tiga angka terakhir dari pangk…
	raharja di Bentuk abbb

Art of Mathematics

15 April 2008

Ketaksamaan

1 Komentar »

Tinggalkan komentar

Halaman

Soal Random

Beri Komentar

Komentar