FPB dua bilangan « Art of Mathematics

14 April 2008

FPB dua bilangan

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:bilangan, bilangan asli, bilangan bulat, fpb, ganjil, genap, Matematika, puzzles, teka-teki, Teori Bilangan — Johan @ 20.18

[Nick's Mathematical Puzzles] Misalkan $a$ , $m$ , $n$ adalah bilangan asli, dengan $a>1$ , $m$ bilangan ganjil. Tentukan FPB dari $a^m-1$ dan $a^n+1$ .

Solusi
Misalkan $d$ adalah faktor perseketuan dari $a^m-1$ dan $a^n+1$ . Maka terdapat bilangan bulat $r$ dan $s$ , sehingga

$a^m-1=rd$ , $a^n+1=sd$ ,

atau

$a^m=rd+1$ , $a^n=sd-1$ .

Maka

$(a^m)^n=(rd+1)^n=td+1$ , $(a^n)^m=(sd-1)^m=ud-1$

untuk suatu bilangan bulat $t$ dan $u$ . Tetapi $(a^m)^n=(a^n)^m$ , sehingga $td+1=ud-1$ . Maka $(u-t)d=2$ , sehingga $d=1$ atau $d=2$ . Bilangan $a^m-1$ dan $a^n+1$ genap ketika $a$ ganjil dan ganjil jika $a$ genap. Maka FPB-nya adalah 1 jika $a$ genap atau 2 jika $a$ ganjil.