Ketaksamaan sisi segitiga lancip « Art of Mathematics

13 April 2008

[Mahkota Matematika] Misalkan $a$ , $b$ , $c$ adalah sisi-sisi sebuah segitiga lancip. Buktikan bahwa

$\displaystyle\frac{a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)}{\sqrt{(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)}}\ge\sum_{cyclic}\frac{1}{\sqrt{b^2+c^2-a^2}}$ .

Solusi
Misalkan

$x=\dfrac{b^2+c^2-a^2}2$ , $y=\dfrac{c^2+a^2-b^2}2$ , $z=\dfrac{a^2+b^2-c^2}2$ .

Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, didapat

$ab=\sqrt{a^2b^2}=\sqrt{(z+y)(z+x)}\ge z+\sqrt{yx}$ .

Dengan cara yang sama didapat $bc\ge x+\sqrt{zy}$ dan $ca\ge y+\sqrt{xz}$ . Maka jumlah ketiga ketaksamaan ini adalah

$ab+bc+ca\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$ ,

atau

$\dfrac{2ab+2bc+2ca-2x-2y-2z}{\sqrt{2x\cdot2y\cdot2z}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{2x}}+\dfrac{1}{\sqrt{2y}}+\dfrac{1}{\sqrt{2z}}$ .

Substitusikan nilai $x$ , $y$ , $z$ dalam $a$ , $b$ , $c$ , sehingga terbukti.

Komentar (1)

	marvell di Fungsi hasil kali bilangan…
	roro di Sifat pada segitiga siku-siku …
	Novri Suhermi di Majalah Zer0
	eko di Akar-akar kuadrat
	raharja di About