Habis dibagi 30 « Art of Mathematics

13 April 2008

Habis dibagi 30

Diarsipkan di bawah: Teori Bilangan — Tag:Teori Bilangan, faktor, bilangan bulat, habis dibagi, jumlah, bukti, Keterbagian, kongruensi, substitusi, teorema, fermat, fermat's little theorem — Johan @ 6.38

[Orisinil] Jika $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $\ldots$ , $a_n$ adalah bilangan-bilangan bulat yang jumlahnya 0, buktikan bahwa $a_1^5+a_2^5+a_3^5+\ldots+a_n^5$ habis dibagi 30.

Solusi
Perhatikan bahwa $a^5-a$ habis dibagi 5, menurut teorema Fermat. Tetapi $a^5-a=(a^2+1)(a+1)a(a-1)$ , sehingga memiliki faktor tiga bilangan berurutan, maka habis dibagi 6. Jadi $a^5-a$ habis dibagi 30, atau $a^5\equiv a\pmod{30}$ . Substitusikan untuk $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ dan jumlahkan sehingga