Titik sudut persegi pada garis dan parabola

11 April 2008

Titik sudut persegi pada garis dan parabola

Diarsipkan di bawah: Geometri — Tag:china, garis, Geometri, jarak, koordinat, luas, Matematika, minimum, olimpiade, panjang, parabola, persamaan, persegi, sisi, titik — Johan @ 14.12

[China Competition 2005] Satu sisi dari persegi $ABCD$ berada pada garis $y=2x-17$ , dan dua titik sudut lainnya berada pada parabola $y=x^2$ . Tentukan luas minimum dari persegi itu.

Solusi
Misalkan $AB$ berada pada garis $y=2x-17$ , dan koordinat dua titik lainnya adalah $C(x_1,y_1)$ dan $D(x_2,y_2)$ . Karena $AB\parallel CD$ , maka $CD$ berada pada garis $L$ dengan persamaan $y=2x+b$ . Tetapi $C$ dan $D$ berada pada $y=x^2$ , sehingga, dengan menggabungkan kedua persamaan, didapat $x^2=2x+b$ . Jadi $x_{1,2}=1\pm\sqrt{b+1}$ . Misalkan sisi persegi itu adalah $a$ . Jadi