Segmen pada segitiga « Art of Mathematics

6 April 2008

Segmen pada segitiga

Diarsipkan di bawah: Geometri — Tag:1986, AIME, Geometri, persamaan, sebangun, segitiga, sejajar — Johan @ 7.43

[AIME 1986] Dalam $\triangle ABC$ , $AB=425$ , $BC=450$ , $AC=510$ . Sebuah titik $P$ di dalam segitiga dibuat, dan dibuat garis-garis melalui titik $P$ yang sejajar dengan sisi-sisi segitiga. Jika ketiga garis ini memiliki panjang yang sama $d$ , tentukan nilai $d$ .

Solusi
Perhatikan gambar berikut.

Perhatikan bahwa $IA=OD$ , $HC=OG$ , sehingga $510=AI+IH+HC=IH+d$ . Dengan cara yang sama, didapat $425=DE+d$ dan $425=FG+d$ . Karena $\triangle OFG\sim\triangle ABC$ , maka $OG=\frac{510}{450}\cdot GF=\frac{17}{15}\cdot(450-d)$ . Karena $\triangle DEO\sim\triangle ABC$ , maka $OD=\frac{510}{425}\cdot DE=\frac65(425-d)$ . Jadi